Grundbegriffe

• Dynamisches System: System, das einer zeitlichen Änderung unterliegt.
• Regelgröße: die zu regelnde Größe.

Systemklassen

• Dynamisches System: $y(t) = F(u, t)$
• Statisches System: $y(t)$ hängt nur von $u(t)$ ab: $y(t) = F(u(t))$. Ein statisches System ist Gedächtnislos
• Zeitinvariantes System: Die Übertragungsfunktion $F$ hängt nur indirekt von der Zeit ab. Es hat ein Gedächtnis (das Verschiebungsprinzip ist anwendbar)
• Kausales System: Ein System ist kausal, wenn für $y(t)$ und $u(\tau)$ gilt $\tau \leq t$
• Lineares System: Ein System ist linear, wenn beide Prinzipien erfüllt sind:
  • Superpositionsprinzip: $F(u_1 + u_2) = F(u_1) + F(u_2)$
  • Homogenitätsprinzip: $F(ku) = kF(u)$

Ruhelage & Linearisierung

Ruhelage

• Ausgang soll zu einen konsanten Wert, bzw. Gleichgewichtspunkt gebracht und dort gehalten werden.
• In der Ruhelage verändern sich sowohl Ausgänge als auch Eingänge nicht.

Stabilität

• Ein stabiles System reagiert auf eine beschränkte Erregung mit beschränkter Bewegung.
• System befindet sich in stabiler Ruhelage. | Auslenkung => Rückkehr zur stabilen Ruhelage.
• System befindet sich in instabiler Ruhelage. | Auslenkung => Entfernung von instabiler Ruhelage.

Stabilität überprüfen

Mittels Charakteristischen Polynom

1. Bestimmen der Eigenwerte der DGL über das Charakteristische Polynom
2. $\Re(\lambda_i) < 0 \forall i =>$ System asymptotisch stabil
3. $\Re(\lambda_i) > 0 \text{ für ein } i =>$ System instabil
4. Grenzstabil falls weder noch

Darstellung in der S-Ebene

Mittels Algebraischen Stabilitätskriterien

Vorzeichenbedingung

• Ein Lineares System 2. Ordnung $a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = 0$ mit charakteristischem Polynom $a_2 s^2 + a_1s + a_0 = 0$
  ist genau dann asymptotisch stabil, wenn $a_0, a_1, a_2 \neq 0$ und gleiches Vorzeichen.

Beiwertebedingung

• Vorzeichenbedingung ist hinreichend und notwendig für $n = 2$ jedoch nur notwendig für $n > 2$.
• Ein Lineares System 3. Ordnung $a_3 y''' a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = 0$ mit charakteristischem Polynom $a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1s + a_0 = 0$
  ist genau dann asymptotisch stabil, wenn $a_0 a_3 - a_1 a_2 < 0$ und Vorzeichenbedingung erfüllt ist. ist genau dann grenzstabil, wenn $a_0 a_3 - a_1 a_2 = 0$ und Vorzeichenbedingung erfüllt ist.
• Ein Lineares System 4. Ordnung $a_4 y'''' a_3 y''' a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = 0$ mit charakteristischem Polynom $a_4 s^4 + a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1s + a_0 = 0$
  ist genau dann asymptotisch stabil, wenn
  • Vorzeichenbedingung erfüllt ist.
  • $a_2 a_3 - a_1 a_4 > 0$
  • $a_1 a_2 a_3 - a_4 a_1^2 - a_0 a_3^2 > 0$

Hurwitzkriterium

• Stabilitätsbedingung für Systeme mit Ordnung $n$.
• Ein System $a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y^{(1)} + a_0 y = 0 \quad \text{mit} \quad a_n > 0$ ist aysmptotisch stabil $<=>$
  • Deteminante der Hurwitzmatrix $|\Delta_n| > 0$.
  • alle Hauptabschnittsdeterminanten $| \Delta_{n-1} |, | \Delta_{n-2} |, ..., | \Delta_{1} |$ ebenfalls positiv.

Hauptabschnittsdeterminanten

Zustandsraumdarstellung (ZRD)

• Nichtlineare Eingangs-/Ausgangs-Form => Linearisierung um Ruhelage => Transformation in Zustandsraumdarstellung.
  • ZRD ist äquivalente Darstellung als System von $n$ DGLs mit Ordnung 1.
  • => Simulation, Analyse, Synthese leichter.

Überführung in ZRD

1. Einführen von Zustandsvariablen $x_1$, ..., $x_n$ in Abhängigkeit von $y$, $y'$, ..., $y^{(n)}$
2. Jede Zustandsvariable ableiten.
3. Abgeleiteten Zustandsvektor in Abhängigkeit von Zustandsvariablen ausdrücken.

Linearisierung der ZRD

• Linearisierung geschieht mit 1. Glied der Taylorreihe um Ruhelage $x_s, u_s$.

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} \Delta \dot{x_1} \\ \vdots \\ \Delta \dot{x_n} \end{bmatrix} = f_x(x_s, u_s) \cdot \underbrace{(x - x_s)}_{\Delta x} + f_u(x_s, u_s) \cdot \underbrace{(u - u_s)}_{\Delta u} + O(\Delta x^2, \Delta u^2) \end{equation}$$

$$f_x = \underbrace{ \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix} }_{\text{Dynamik-Matrix } A} f_u = \underbrace{ \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial u_q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial u_q} \end{bmatrix} }_{\text{Eingangs-Matrix } B}$$

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} \Delta y_1 \\ \vdots \\ \Delta y_p \end{bmatrix} = h_x(x_s, u_s) \cdot \underbrace{(x - x_s)}_{\Delta x} + h_u(x_s, u_s) \cdot \underbrace{(u - u_s)}_{\Delta u} + O(\Delta x^2, \Delta u^2) \end{equation}$$

$$h_x = \underbrace{ \begin{bmatrix} \frac{\partial h_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial h_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial h_p}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial h_p}{\partial x_n} \end{bmatrix} }_{\text{Ausgangs-Matrix } C} h_u = \underbrace{ \begin{bmatrix} \frac{\partial h_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial h_1}{\partial u_q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial h_p}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial h_p}{\partial u_q} \end{bmatrix} }_{\text{Durchgriffs-Matrix } D}$$

• Mit Bezeichnungen Matrizen $A$, $B$, $C$, $D$ ist auch folgende Darstellung möglich:
  • $x' = A \cdot x + B \cdot u$
  • $y' = C \cdot x + D \cdot u$

Stabilität in ZRD

• Lineares System ist asymptotisch stabil <=> $\Re{\lambda_i} < 0 \quad \forall i$.
• Lineares System ist instabil <=> $\Re{\lambda_i} > 0 \text{für min. ein } i$.
• Lineares System ist grenzstabil <=> $\Re{\lambda_i} = 0$ für genau ein i.

Steuerbares System

• Ein System heißt vollständig steuerbar, wenn es für jede Anfangsbedingung $x(t_0)$ eine Steuerfunktion $u(t)$ gibt, so, dass das System in endlicher Zeit in einen beliebigen Endpunkt $x(t_e)$ überführt werden kann.
• Ein System ${A, b}$ ist genau dann steuerbar, wenn eine der folgenden Bedingungen zutrifft:
  • $det(P) \neq 0$
  • P hat vollen Rang

$$P := \begin{bmatrix} b & Ab & A^2b & \cdots & A^{n-1}b \end{bmatrix}$$

• Für steuerbare Systeme sind all Polle mittels Zustandsrückführung beliebig veränderbar => Der geschlossene Regelkreis kann immer stabilisert werden
  • Hierfür müssen jedoch alle Zustände bekannt sein

Zustandsrückführung

• Für ein lineares steuerbares System in ZRD kann Polvorgabe mittels Zustandsrückführung geschehen
  • System in ZRD:
    • $x' = A \cdot x + b \cdot u \qquad$ (1)
    • $y = c^T \cdot x + d \cdot u$
  • Lineare Rückführung der Zustände
    • $u := k^T \cdot e = k^T \cdot (w-x)$
  • Einsetzen in (1) liefert:
    • $x' = (A - b \cdot k^T)x + b \cdot k^T \cdot w$
    • Wobei $(A - b \cdot k^T)x$ die Systemmatrix des geschlossenen Regelkreises darstellt

• Um die Pole zu verschieben müssen die Koeffizinenten $k_i$ richtig gesetzt werden
  1. Charakteristisches Polynom der neuen Systemmatrix aufstellen
     • $det( \lambda I - (A-b \cdot k^T) )$
  2. Sollpolynom mit korrekten Polstellen aufstellen
     • $(\lambda - \lambda_1) \cdot (\lambda - \lambda_2) \cdot \ldots \cdot (\lambda - \lambda_n)$
  3. Koeffizientenvergleich durchführen um $k_i$ zu bestimmen

DSS

• Siehe DSS Formelsammlung.

Übertragungsfunktion

• Beschreibt das Verhalten vom Eingang auf den Ausgang im Frequenzbereich.
• $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$

Stabilität der Übertragungsfunktion

• Pole der Übertragungsfunktion bestimmen Stabilität des Systems.
  • Alle Polstellen haben negativen Realteil => System stabil.
  • Es existiert ein Pol mit positivem Realteil => System instabil.
  • Ex existiert genau ein Pol mit Realteil = 0 und alle weiteren Pole haben negativen Realteil => System ist grenzstabil.
• Notwendige Bedingung für Stabilität
  1. Charakteristisches Polynom des Nennerpolynoms ist Nennerpolynom = 0 muss aufgestellt werden.
  2. alle $a_i \neq 0$ und haben gleiches Vorzeichen. (VZB)
• Hinreichende Bedingungen für Stabilität bei bestimmtem Grad
  • Charakteristisches Polynom hat Grad 2:
    • VZB
  • Charakteristisches Polynom hat Grad 3:
    • VZB
    • $a_0 a_3 - a_1 a_2 < 0$
  • Charakteristisches Polynom hat Grad 4:
    • VZB
    • $a_2 a_3 - a_1 a_4 > 0$
    • $a_1 a_2 a_3 - a_4 a_1^2 - a_0 a_3^2 > 0$

Minimalphasigkeit der Übertragungsfunktion

• Nullstellen der Übertragungsfunktion bestimmen Minimalphasigkeit des Systems.
  • Alle Nullstellen haben negativen Realteil => System ist minimalpahsig.
• Notwendige Bedingung für Minimalphasigkeit
  1. Charakteristisches Polynom, also Zählerpolynom = 0 muss aufgestellt werden.
  2. alle $a_i \neq 0$ und haben gleiches Vorzeichen.

Frequenzgang

• Frequenzgang beschreibt Verhalten des Systems auf sin/cos Signale.
  • Antwort auf sin/cos Signal beschreibt das System vollständig.
• Für Frequenzgang wird $G(s) = G(\sigma + j\omega) \quad$ zu $\quad G(s) = G(j\omega)$
  => Betrachten Übertragungsfunktion für rein imaginäre Eingänge, bildet aber trotzdem in die ganze komplexe Eben ab: $j\omega \mapsto \mathbb{C}$

Amplituden- und Phasen-Gang

• $G(j\omega) = \Re(\omega) + j\Im(\omega) = A(\omega) \cdot e^{j\phi(\omega)}$
  • $A(\omega) = |G(j\omega)| = \sqrt{ \Re(\omega)^2 + \Im(\omega)^2 }$
  • $\phi(\omega) = arg(G(j\omega)) = arctan2(\frac{\Im(\omega)}{\Re(\omega)})$

$$\text{arctan2}: \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} \to [-\pi, +\pi] \text{ oder } [-\pi, +\pi[ \qquad (x, y) \mapsto \begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & \text{für } x > 0 \text{ (Quadranten I und IV)} \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \text{für } x < 0, y > 0 \text{ (Quadrant II)} \\ \pm \pi & \text{für } x < 0, y = 0 \text{ (oberer / unterer Rand)} \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi & \text{für } x < 0, y < 0 \text{ (Quadrant III)} \\ +\frac{\pi}{2} & \text{für } x = 0, y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{für } x = 0, y < 0 \end{cases}$$

Ortskurve | Nyquist-Diagramm

• Die Ortskurve vereinigt den Amplituden- und Phasen-Gang in einer graphischen Darstellung.
• Die Übertragungsfunktion $G(j\omega)$ wird von $\omega = 0$ bis $\omega \to \infty$ ausgewertet und in der komplexen Ebene gezeichnet.

Bode-Diagramm

• Das Bode-Diagramm trennt Amplitudengang und Phasengang in zwei graphischen Darstellung auf.

Wichtige Übertragungsfunktionsglieder

• Eckfrequenz: $\omega_0 = \frac{1}{T_0}$

Proportionalglied $P$

• $G(s) = K$
• $G(j\omega) = K$
• $A(\omega) = K$
• $\varphi (\omega) = 0$

Verzögerungsglied $PT_1$

• $G(s) = \frac{K}{sT + 1}$
  • $T$: Zeitkonstante
• $G(j\omega) = \frac{K}{j\omega T + 1}$
• $A(\omega) = \frac{K}{\sqrt{1+T^2\omega^2}}$
• $\varphi(\omega) = -\arctan(T\omega)$

Verzögerungsglied $PT_2$

• $G(s) = \frac{K}{T_0^2s^2 + 2DT_0s+1}$
  • $D$: Dämpfungsgrad
  • $T_0$: Zeitkonstante
• $G(j\omega) = \frac{K}{1 - T_0^2 \omega^2 + 2 j D T_0 \omega}$
• $A(\omega) = \frac{K}{\sqrt{ (1-T_0^2\omega^2)^2 + (2DT_0\omega)^2 }}$
• $\varphi(\omega) = -\arctan(\frac{2DT_0\omega}{1-T_0^2\omega^2}) \text{ für } \omega < \frac{1}{T_0}$
• $\varphi(\omega) = -\arctan(\frac{2DT_0\omega}{1-T_0^2\omega^2}) - \pi \text{ für } \omega > \frac{1}{T_0}$

$PT_n$-Glied

• $G(j\omega) = \frac{K}{ (T_1j\omega+1)^n }$
  

$PD$-Glied

• $G(j\omega) = K(j\omega T + 1)$

Integralglied $I$

• $G(s) = \frac{K}{s}$
• $G(j\omega) = \frac{K}{j\omega} = -j\frac{K}{\omega}$
• $A(\omega) = \frac{K}{\omega}$
• $\varphi (\omega) = -\frac{\pi}{2}$

$IT_1$-Glied

• $G(s) = \frac{K}{s(sT+1)}$
• $G(j\omega) = \frac{K}{ j\omega(1 +jT\omega) }$
• $A(\omega) = \frac{K}{\omega \sqrt{1+T^2 \omega^2}}$
• $\varphi(\omega) = -\frac{\pi}{2} - \arctan(T\omega)$

$IT_2$-Glied

• $G(s) = \frac{K}{ s(T_0^2s^2+2DT_0s+1) }$
• $G(j\omega) = \frac{K}{ j\omega(1 - T_0^2 \omega^2 + j2DT_0\omega) }$
• $A(\omega) = \frac{K}{\omega \sqrt{(1-T_0^2\omega^2)^2 + (2DT_0\omega)^2}}$
• $\varphi(\omega) = -\arctan(\frac{2DT_0\omega}{1-T_0^2\omega^2}) -\frac{\pi}{2} \text{ für } \omega < \frac{1}{T_0}$
• $\varphi(\omega) = -\arctan(\frac{2DT_0\omega}{1-T_0^2\omega^2}) +\frac{\pi}{2} \text{ für } \omega > \frac{1}{T_0}$

$IT_n$-Glied

• $G(j\omega) = \frac{K}{ j\omega(T_1j\omega+1)^n }$
  

Differenzierglied $D$

• $G(s) = Ks$
• $G(j\omega) = jK\omega$
• $A(\omega) = K\omega$
• $\varphi(\omega) = \frac{\pi}{2}$

$DT_n$-Glied

• $G(j\omega) = \frac{j\omega}{ T_Ij\omega(j\omega+1)^n }$
  

Asymptotisches Zeichnen des Bode-Diagramms

1. Zerlegen der Übertragungsfunktion

• Auf Grund der logarythmischen Darstellung werden alle Einzellkomponenten im Bodediagramm einfach zueinander addiert.
• Es gilt: $\omega_{E_1} < \omega_{E_2} < \omega_{E_3} < \dots$
  

2. Bestimmen der Anfangsamplitude

• Die Anfangsamplitude ist der Schnittpunkt mit der y-Achse und wird immer so gewählt das gilt $\omega << \omega_{E_1}$.
• Existieren nur $PT_n$ Glieder ist die Anfangsamplitude gleich $K$.
• Existiert auch ein $I$ oder $D$ Anteil muss eine Punktprobe durchgeführt werden.

3. Bestimmen der Anfangssteigung

• Existieren nur $PT_n$ Glieder ist die Anfangssteigung gleich $0$ bis zu $\omega_{E_1}$.
• Existiert ein $I$ Anteil so ist die Steigung $-20db / Dekade$ bis zu $\omega_{E_1}$.
• Existiert ein $D$ Anteil so ist die Steigung $+20db / Dekade$ bis zu $\omega_{E_1}$.

4. Asymptotischer Amplitudenverlauf

• Pole und Nulstellen verändern den asymptotischen Verlauf.
  • Reeler Pol: erniedrigt Steigung um $20db / Dekade$ bei $\omega_{E_i}$.
  • Konjugiert komplexer Pol: erniedrigt Steigung um $40db / Dekade$ bei $\omega_{E_i}$.
  • Reelle Nullstelle: erhöht Steigung um $20db / Dekade$ bei $\omega_{E_i}$.
  • Konjugiert komplexes Nullstellenpaar: erhöht Steigung um $40db / Dekade$ bei $\omega_{E_i}$.

5. Bestimmen des Phasenverlaufs

• Für minimalphasige Systeme besteht ein direkter Einfluss vom Amplitudengang zum Phasengang.
  • Veränder sich die Steigung um 20dB im Amplitudengang an einer Eckfrequenz $\omega_{E_i}$ so veränder sich der Phasengang um $\frac{\pi}{2}$ ebenfalls bei $\omega_{E_i}$
    Das Vorzeichen der Veränderung ist für
    • Rel($P_i < 0$) gleich wie im Amplitudengang.
    • Rel($P_i > 0$) mal (-1) wie im Amplitudengang.
  • Bei negativem Verstärkungsfaktor verschiebt sich der ganze Phasengang um $-\pi$.

Reglerentwurf

Nomineller Regelkreis

• Der nominelle Regelkreis beschreibt den idealen Regelkreis. Es existieren keine Ein- und Ausgangsstörungen, kein Messrauschen und keine Modellunsicherheiten.

Stabilitätsuntersuchung über Pole

• Die Stabilität des nominellen Regelkreises kann über die Pole der charakteristischen Gleichung bestimmt werden.
• Es ist jedoch schwer den Einfluss des Reglers $K(s)$ auf die stabilität des gesammten Regelkreises zu bestimmten. Dies erschwert den Reglerentwurf.

Stabilitätsuntersuchung mittels Nyquist-Kriterium

• Das Nyquist-Kriterium ist ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Stabilität des geschlossenen Regelkreises unter beobachtung des offenen Regelkreises $G_0(s) = K(s) \cdot G(s)$. Dies vereinfacht die Stabilitätsbestimmung.
• Nach dem Nyquist-Kriterium ist der geschlossene Regelkreis stabil, genau dann wenn $\Delta\phi = m_0\pi + \frac{a_0}{2}\pi$ wobei
  • $m_0$ ist die Anzahl aller Pole von $G_0(s)$ in der rechten Halbebene.
  • $a_0$ ist die Anzahl aller Pole von $G_0(s)$ auf der Imaginärachse.
  • $\Delta\phi$ ist der gesamte überstrichene Winkel ausgehend vom kritischen Punkt in Richtung positivem $\omega$ | Gegen den Uhrzeigesinn positiv gezählt.

Spezialfall: Linke-Hand Regel

• Ist $G_0(s)$ asymptotisch stabil d.h., $G_0(s)$ hat nur Pole in der linken Halbebene, dann ist der geschlossene Regelkreis ebenfalls asymptotisch stabil, genau dann wenn der kritische Punkt immer links der Ortskurve in Richtung wachsendem $\omega$ liegt.

Spezialfall: Erweiterte Linke-Hand Regel

• Hat der offene Regelkreis $G_0(s)$ nur Pole in der linken Halbebene mit Ausnahme eines einfachen oder doppelten Pols im Ursprung, dann ist der geschlossene Regelkreis genau dann asymptotisch stabil, wenn die Ortskurve $G_0(j\omega)$ für die Durchtrittsfrequenz $\omega_D$ einen Phasenwinkel größer als $-180\degree$ hat.
• Die Durchtrittsfrequenz $\omega_D$ ist die Frequenz bei der das System eine Verstärkung von $1$, bzw $0dB$ aufweist. Sie kann in der Ortskurve anhand des Schnittpunktes mit dem Einheitskreis bestimmt werden. Wobei eine Darstellung im Bodediagramm ebenfalls möglich ist.

Spezialfall: Small-Gain-Theorem

• Ist $G_0(s)$ asymptotisch stabil d.h., $G_0(s)$ hat nur Pole in der linken Halbebene und $|G_0(j\omega)| < 1 \quad \forall \omega$, dann ist auch der geschlossene Regelkreis asymptotisch stabil.
• Anschaulich bedeutet das, dass die Verstärkung des Systems nie größer 1 ist. Die Ortskurve des Systems liegt vollständig im Einheitskreis.
• Nur hinreichendes, nicht notwendiges Kriterium.

Robuste Stabilität

• Ein geschlossener Kreis ist robust stabil, wenn der geschlossenen Regelkreises trotz (kleiner) Änderungen der Strecke/des Modells stabil bleibt.

Interne Stabilität

Definition

• Der Standartregelkreis heißt intern asymptotisch stabil, wenn die Übertragungsfunktionen von jeder externen Eingangsgröße auf jede andere Größe im Regelkreis asymptotisch stabil sind.

Satz

• Der Standardregelkreis ist intern asymptotisch stabil, wenn
  • Der geschlossene Kreis asymptotisch stabil ist. $\land$
  • Keine instabilen Übertragungsfunktionen außerhalb des Kreises auftreten. $\land$
  • In sich keine instabilen Pol-Nullstellen kürzen.

Amplituden- und Phasenreserve

• Die Amplitudenreserve gibt an wie weit die Verstärkung des System erhöht werden kann, ohne, dass das System instabil wird.
  • Sie wird berechnet mit $a_R = \frac{1}{a_d}$ wobei $a_d$ der Abstand vom Nullpunkt bis zum $180\degree$ Punkt der Ortskurve ist.
• Die Phasenreserve gibt an wie viel zusätzliche Phasenverschiebung eintreten kann, ohne, dass das System instabil wird.
  • Sie wird berechnet indem die Druchtrittsfrequenz $\omega_D$ in den Phasengang eingesetzt, und das Ergebnis zu $180\degree$ addiert wird.

Vernünftige Werte

• Amplitudenreserve sollte zwischen 2,5dB und 10dB liegen.
• Phasenreserve sollte über 30 Grad liegen.

Allgemeiner Regelfehler im Geschlossenen realen Kreis

• Der Regelfehler $E(s) = W(s) - Y(s)$ kann mit Hilfe Der Abb. aufgeteilt werden.

$$E(s) = -G_z(s)\underbrace{\frac{1}{1 + G_0}}_{S(s)} Z(s) + \underbrace{\frac{1}{1+G_0}}_{S(s)} W(s) + \underbrace{\frac{G_0}{1+G_0}}_{T(s)} H(s) = -G_z(s)S(s)Z(s) + S(s)W(s) + T(s)H(s)$$

$$Y(s) = G_z(s)S(s)Z(s) + T(s)W(s) - T(s)H(s)$$

Wünschneswertes Verhalten

• der Fehler $e$ im Bezug auf die Führungsgröße $W$ soll möglichst klein sein. Dies gewähreistet ein gutes Führungsverhalten
  • $e_W(j\omega) = S(j\omega)W(j\omega)$ => Damit $e_W(j\omega)$ klein wird muss $|S(j\omega)| \forall \omega$ klein werden.
• der Fehler $e$ im Bezug auf die Störgröße $Z$ soll möglichst klein sein. Dies gewähreistet ein gutes Störverhalten
  • $e_Z(j\omega) = -G_z(j\omega)S(j\omega)Z(j\omega)$ => Damit $e_Z(j\omega)$ klein wird muss $|S(j\omega)| \forall \omega$ klein werden.
• der Fehler $e$ im Bezug auf die Rauschgröße $\eta$ soll möglichst klein sein. Dies gewähreistet ein niedgiges Messrauschen
  • $e_\eta(j\omega) = T(j\omega)W(j\omega)$ => Damit $e_\eta(j\omega)$ klein wird muss $|T(j\omega)| \forall \omega$ klein werden.

Fundamentaldilemma

• $S(s)$ und $T(s)$ addieren sich zu eins da $\frac{1}{1+ G_0(s)} \frac{G_0(s)}{1+ G_0(s)} = 1$ => $S(s)$ und $T(s)$ können nicht gleichzeigit klein werden.

"Lösung" des Fundamentaldilemmas

• Führungssignal $W(s)$ und Störsignale $Z(s)$ oft niederfrequent während Messrauschen $\eta(s)$ meist hochfrequent.
  => Wahl des Regelkreises so, dass $|S(j\omega)| \ll 1 \text{ wenn } \omega \text{ klein}$ und $|T(j\omega)| \ll 1 \text{ wenn } \omega \text{ groß}$

  • $|S(j\omega)| \ll 1 \text{ für } 0 \leq w \leq \omega_Z$
  • $|T(j\omega)| \ll 1 \text{ für } \omega_{\eta} \leq \omega \leq \infty$

• Ein beispielhafter Verlauf von $S(j\omega)$ und $T(j\omega)$ hier hier gezeigt:

• Da $S(j\omega) = \frac{1}{1 + G_0(j\omega)}$ wird $G_0(j\omega)$ groß wenn $S(j\omega)$ klein wird.

• Da $T(j\omega) = \frac{G_0(j\omega)}{1 + G_0(j\omega)}$ wird $G_0(j\omega)$ klein wenn $S(j\omega)$ klein wird.
  => Es ergbit sich folgendes Tiefpassverhalten:

  • Niedrige Frequenzen werden verstärkt.
  • Hohe Frequenzen werden unterdrückt.

Bandbreite

• Die Bandbreite $\omega_B$ ist die Frequenz bei der die Verstärkung -3dB beträgt. Also $20\lg|G_0(j\omega_B)| = -3dB$.

Bleibende Regelabweichung

• Auch bei störungsfreier Betrachtung kann es zu einer bleibenden Regelabweichung kommen.
  => Lösung: Der offene Regelkreis sollte stets ein $I$ Glied aufweisen (Geg. dem Regler hinzufügen).

Wichtige Kenngrößen

Reglerentwurf

PID Regler

• $K_{PID}(s) = K_p(1+T_ds + \frac{1}{T_Is})$

PID Regler - Parameterwahl

• verschiedene Ansätze möglich

Sprungmethode nach Ziegler-Nichols

Voraussetzungen

1. Regelstrecke stabil.
2. Streckensprungantwort zeigt $PT_1T_t$ verhalten.

Vorgehen

• Regelziel: Amplitudenverhältnis im geschlossenen Kreis $a = \frac{y_2}{y_1} > 0.25$.

1. Aus Sprungantwort kann Übertragungsfunktion der Regelstrecke angenäher werden.

2. Je nach dem welcher Regeltyp gewählt wird ergeben sich folgende empirisch bestimmten Parameter für den Regler:

Pros & Cons

• (+) schnell und einfach
• (+) guter Startwert für manuelles Tuning
• (-) geringe Robustheit
• (-) keine hohe Regelgüte erreichbar
• (-) nicht anwendbar bei $L > \tau$
• Einstellregeln verlieren zunehmend an relevanz.

Reglerentwurf anhand des offenenen Kreises

• Da sich viele Anforderungen an den geschlossenen, bereits am offenen Kreis $G_0(s)$ prüfen lassen, können Regelparameter auch anhand $G_0(s)$ bestimmt werden.

Loop-Shaping

• Gegeben: Regelstrecke $G(s)$ & Wunschverhalten des offenen Kreises.
• Gesucht: Regler $K(s)$.
• => Iteratives Entwerfen von $K(s)$ mit Bode-Diagramm im Baukastenprinzip.

Basiselemente für das Loop-Shaping

P-Regler

• $K(s) = K_P$
• $K_P$ verschiebt Amplitudengang nach
  • $K_P > 1$: oben
  • $0 < K_P < 1$: unten
• Keinen Einfluss auf den Phasengang.
• Grenzwert für $K_P$ ist Amplitudenreserve: $K_{P,max} = a_R$.

PI-Regler

• $K(s) = K_P(1+\frac{1}{T_Is})$
• $I$ Anteil: Robuste Garantie gegen bleibende Regelabweichung
• $K_P$: Wahl der Durchtrittsfrequenz $\omega_D$
• $T_I$: Legt Eckfrequenz $\omega_E$ fest | Faustregel: $\omega_E = \frac{\omega_B}{10}$.
• $\omega_E << \omega_D$: Verbessert Regelgüte & Stabilitätsreserve nicht nachteilig beeinflusst

Lead-Element

• ideales $D$ Glied nicht möglich (da: $\delta^{\prime} \leftrightarrow s$).
• => Anäherung eines idealen $D$ Gliedes $K(s) = K_P(1+T_Ds)$ mit Lead-Element:
  $K(s) = v\frac{s+w}{s+vw} , v > 1, v,w \in \mathbb{R}$
• erhöht die Phase, bevor die Amplitude signifikant zunimmt.
  => Erhöht Phasenreserve.
• optimal $w > \omega_D$, mindestens: $\sqrt{v}w > \omega_D$.
• Lead-Element erhöht Amplitude auch (leicht).
  • kompensation mittels $K_P$ kann notwendig werden.
• mehrere Lead-Elemente können kombiniert werden.
  

Pros & Cons

• (+) strukturierter Entwurf
• (+) einfaches hinzufügen von (Korrektur-) Regelkreisgliedern
• (+) berücksichtigt Prozesswisssen (Modell)
• (+) Stabilität und Regelgüte können garantiert werden
• (-) Iteratives Vorgehen
• (-) Modell der Regelstrecke notwendig
• (-) Regelziele müssen für den offenen Regelkreis formuliert werden

Reglerstrukturen

Störungsaufschaltung

• Kann Störgröße $Z$ direkt gemessen werden und $G_Z$ & $G_S$ sind bekannt, dann kann Störgröße vor der Regelstrecke abgezogen werden.
  

$$Y(s) = \underbrace{\frac{G_SK}{1+G_SK}}_{\text{Führungsverhalten}}W + \underbrace{\frac{G_U - G_SK_Z}{1 + G_SK}}_{\text{Störverhalten}}Z$$

• Um Störung vollständig zu kompesieren muss also:

$$\frac{G_U - G_SK_Z}{1 + G_SK} = 0$$

• Vollständige Kompensation möglich wenn $K_Z = \frac{G_Z}{G_S} = \frac{Z_ZN_G}{N_ZZ_G}$.
• Realisierbarkeitsbedingung: Grad($Z_Z$) + Grad($N_G$) $\leq$ Grad($N_Z$) + Grad($Z_G$).
• Statische Kompensation, falls $K_Z(0) = \frac{G_Z(0)}{G(0)}$.

Hilfsregelgrößenregelung

• Falls Störung $Z$ nicht direkt gemessen werden kann, kann Störung stattdessen auf der Strecke gemessen werden. Dies sollte möglichst nah am Einflusspunkt der Störung getan werden.
• $Y(s) = G_2(s)G_{\tilde{Z}}(s)Z(s) + G_2(s)G_1(s)U(s)$
• $Y_Z(s) = G_{\tilde{Z}}(s)Z(s) + G_1(s)U(s)$
• $U(s) = K(s) \cdot (W(s) - Y(s))-K_Z(s)Y_Z(s)$

$$Y(s) = \underbrace{\frac{G_1G_2K}{1+G_1K_Z+G_1G_2K}}_{\text{Führungsverhalten}}W + \underbrace{\frac{G_2G_{\tilde{Z}}}{1 + G_1K_Z +G_1G_2K}}_{\text{Störverhalten}}Z$$

• Um Störung vollständig zu kompesieren muss also:

$$\frac{G_2G_{\tilde{Z}}}{1 + G_1K_Z +G_1G_2K} = 0$$

• Vollständige Kompensation nicht möglich, da $G_2G_{\tilde{Z}}$ unabhängig vom Regler ist.
• Näherungsweise Kompensation für den Frequenzbereich $\underline{\omega_Z} \leq \omega_Z \leq \overline{\omega_Z}$ möglich.
• Statische Kompensation für $I$ Anteil in $G_1K_Z$ oder $G_1G_2K$

Spezialfall: Kaskadenregelung

• 2 Überlagerte Regelkreise.
• Innerer Kreis: Kompensation von $Z_1$.
  • $K_H$ sorgt für gutes Einschwingverhalten und Stabilität.
• Äußerer Kreis: Führungsverhalten.
  

$$Y_H = \underbrace{\frac{G_1K_H}{1 + G_1K_H}}_{\approx 1 , \omega < \omega_{D1}}W_H + \underbrace{\frac{1}{1 + G_1K_H}}_{\approx 0 , < \omega < \omega_{D1}}Z_1 => Y_H \approx W_H, \omega < \omega_{D1}$$

$$Y \approx \frac{G_2K}{1+G_2K}W + \frac{1}{1+G_2K}Z_2$$

Führungsgrößenaufschaltung

• Modell des Führungssignals und Modell des Prozesses müssen bekann sein.

• Führungsgröße $W$ wird aufgeteilt:

  • $G_W$: Dynamisches Wunsch-Führungsverhalten.
  • $G_V$: Vorsteuerung zur Kompensation der Modelldynamik.
  • $K$: Regelung zur Stör- und Modellfehler-Kompensation.
    

• Im Fehlerfreien Fall ($E = 0$) ergibt sich folgende Gleichung:

$$Y(s) = \frac{G(KG_W + G_V)}{1 + GK}W = \left(G_W + \frac{GG_V - G_W}{1 + GK}\right)W$$

• Bedingung für gutes Führungsverhalten:

$$Y = G_WW <=> \frac{GG_V} - G_W{1+GK} = 0$$

• Zwei Freiheitsgrade zur Kompensation:
  1. Regelung: $1+GK$ sehr groß.
  2. Vorsteuerung: $G_V = \frac{G_W}{G} = \frac{Z_WN_G}{N_WZ_G}$
     • Muss stabil und totzeitfrei sein.
• Realisierbarkeitsbedingung: Grad($Z_W$) + Grad($N_G$) $\leq$ Grad($N_W$) + Grad($Z_G$).

Totzeitkompensation

• Reale Systeme haben oft eine Totzeit, welche beim Reglerentwurf beachtet werden muss.
• Stelleingriff zur Zeit $t$, erst nach Totzeit $T_t$ im Regelfehler sichtbar.
  • => Beschränkt erreichbare Amplitudenreserve.
• => Wirkung des Stelleingriffs auf Regelstrecke modellbassiert vorhersagen.
  • => Regler kann auf Wirkung reagieren, bevor diese an $Y$ erkennbar ist.
    

$$Y = \frac{\tilde{G}K}{1+\tilde{G}K}e^{-sT_t}W$$

• (+) Totzeit nicht in charakteristischer Gleichung enthalten => Stabilität unbeeinflusst.
• (-) Sensitivität bzgl. Modellfehler.

Autor: Matthias Schmiegel